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帮你理解积分与求导到底是什么

标签: 积分求导
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求导和积分是一对互逆的操作,它们都是微积分学中最为基础的概念。

先来说导数:


导数定义为:当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

一阶导数几何意义:曲线在某一点的变化率—斜率;

二阶导数几何意义--斜率的变化率,又可以用来判断曲线的凹凸性;

三阶导数几何意义--斜率的变化率的变化率;……。


高阶导数是对曲线随x变化而变化的速度的大小、快慢的刻画,并随着阶数的增加,这种刻画也就越来越精确,这一点可从泰勒公式中看出。


接下来说说积分

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分不定积分两种。

不定积分

积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。
用公式表示是:

定积分

而相对于不定积分,还有定积分。所谓定积分,其形式为
  
。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。
定积分的定义式为:
其中,
  
为分点。
直观地说,对于一个给定的正实值函数
  
在一个实数区间
  
上的定积分
  
可以理解为在坐标平面上,由曲线
  
、直线
  
以及
  
轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。

定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?

定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:
如果
 
那么
 
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
现在没时间了,之后我会补充关于其他的比如卷积和傅里叶变换等知识。


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